Évariste Galois

Les calculs algébriques ont d’abord été peu nécessaires au progrès des Mathématiques, les théorèmes fort simples gagnaient à peine à être traduits dans la langue de l’analyse. Ce n’est guère que depuis Euler que cette langue plus brève est devenue indispensable à la nouvelle extension que ce grand géomètre a donnée à la Science. Depuis Euler les calculs sont devenus de plus en plus nécessaires et aussi de plus en plus difficiles à mesure qu’ils s’appliquaient à des objets de science plus avancés. Dès le commencement de ce siècle, l’algorithme avait atteint un degré de complication tel que tout progrès était devenu impossible par ce moyen, sans l’élégance que les géomètres modernes ont dû imprimer à leurs recherches et au moyen de laquelle l’esprit saisit promptement et d’un seul coup un grand nombre d’opérations.

Il est évident que l’élégance si vantée et à si juste titre n’a pas d’autre but.

Du fait bien constaté que les efforts des géomètres les plus avancés ont pour objet l’élégance on peut donc conclure avec certitude qu’il devient de plus en plus nécessaire d’embrasser plusieurs opérations à la fois, parce que l’esprit n’a plus le tems de s’arrêter aux détails.

DÉMONSTRATION D’UN THÉORÈME SUR LES FRACTIONS CONTINUES PÉRIODIQUES .
On sait que si, par la méthode de Lagrange, on développe en fraction continue une des racines d’une équation du second degré, cette fraction continue sera périodique, et qu’il en sera encore de même de l’une des racines d’une équation de degré quelconque, si cette racine est racine d’un facteur rationnel du second degré du premier membre de la proposée, auquel cas cette équation aura, tout au moins, une autre racine qui sera également périodique. Dans l’un et dans l’autre cas, la fraction continue pourra d’ailleurs être immédiatement périodique ou ne l’être pas immédiatement ; mais, lorsque celle dernière circonstance aura lieu, il y aura du moins une des transformées dont une des racines sera immédiatement périodique.
Or, lorsqu’une équation a deux racines périodiques répondant à un même facteur rationnel du second degré, et que l’une d’elles est immédiatement périodique, il existe entre ces deux racines une relation assez singulière qui parait n’avoir pas encore été remarquée, et qui peut être exprimée par le théorème suivant :
Théorème. — Si une des racines d’une équation de degré quelconque est une fraction continue immédiatement périodique, cette équation aura nécessairement une autre racine également périodique que l’on obtiendra en divisant l’unité négative par cette même fraction continue périodique, écrite dans un ordre inverse.